Liczby zespolone są podobne do wektorów, ale mają kilka dodatkowych właściwości matematycznych, które czynią je użytecznymi. Przede wszystkim użycie złożonego wykładniczego \ $ e ^ {j \ omega t} \ $ zamiast sinusów i cosinusów znacznie ułatwia rozwiązywanie równań różniczkowych. W ten sposób uzyskujesz złożoną impedancję na pierwszym miejscu:

$$ v (t) = A \ mathrm e ^ {\ mathrm {j} \ omega t + \ theta} $$ $$ i (t) = B \ mathrm e ^ {\ mathrm j \ omega t + \ phi} $$ $$ \ frac {v (t)} {i (t)} = Z = \ frac AB \ mathrm e ^ {\ mathrm j (\ theta - \ phi)} $$

Lub w notacji wskazowej:

$$ \ hat V = A \ angle \ theta $$ $$ \ hat I = B \ angle \ phi $$ $$ \ frac {\ hat V} {\ hat I} = Z = \ frac A B \ angle (\ theta - \ phi) $$

Możesz użyć czegoś takiego jak notacja wektorowa dla wielkości i fazy, ale wektory nie mnożą się i nie dzielą jak liczby zespolone, więc nic by to nie poprawiło.

EDIT: Liczby zespolone opracowane w celu rozwiązania pewnych problemów algebry. Jeśli chcesz dowiedzieć się więcej o historii, zapoznaj się z pierwszym rozdziałem Visual Complex Analysis autorstwa Tristana Needhama. (Możesz przeczytać podgląd na Amazon, jeśli nie masz pod ręką dobrej biblioteki.)

Drugi rozdział książki prawdopodobnie sam odpowie na Twoje pytanie, ale spróbuję też. Liczby zespolone są w pewnym sensie wielkościami dwuwymiarowymi, ale to, co sprawia, że ​​są przydatne, to fakt, że obejmują one również pojęcie rotacji. Mnożenie przez \ $ \ sqrt {-1} \ $ jest równoważne obróceniu o 90 ° w płaszczyźnie 2D:

$$ \ mathrm i ^ 0 = 1 $$ $$ \ mathrm i ^ 1 = \ mathrm i $$ $$ \ mathrm i ^ 2 = -1 $$ $$ \ mathrm i ^ 3 = - \ mathrm i $$ $$ \ mathrm i ^ 4 = 1 $$

Możemy to rozszerzyć za pomocą złożonych wykładników, przedstawiając rotację o dowolną wartość:

$$ \ mathrm e ^ {j \ pi / 4} \ cdot \ mathrm e ^ {j \ pi / 4} = \ mathrm e ^ {j (\ pi / 4 + \ pi / 4)} = \ mathrm e ^ {j \ pi / 2} = \ mathrm i $$ $$ 45 ^ \ circ + 45 ^ \ circ = 90 ^ \ circ $$

Zwróć uwagę, że otrzymujemy to wykonując zwykłe działania arytmetyczne - mnożenie wykładników o wartościach rzeczywistych działa w ten sam sposób.

Dlaczego to ma znaczenie? Możemy już przedstawić obroty za pomocą sinusów i cosinusów, prawda? Ale to robi się nieprzyjemne w równaniach różniczkowych, głównie dlatego, że nie można łączyć sinusów i cosinusów, dodając je. Z drugiej strony pochodna \ $ \ mathrm e ^ x \ $ to ... sama. Nie ma problemu!

Skąd więc pochodzi impedancja? Cóż, pomyśl o różnicy między DC a sinusoidalnym stanem ustalonym. W przypadku prądu stałego napięcia węzłowe są stałymi wartościami o różnych wartościach. W przypadku prądu przemiennego napięcia węzłowe są sinusoidalne o tej samej częstotliwości, ale o różnych wartościach i kątach fazowych . Zmieniają się również relacje napięcie / prąd. W przypadku rezystora napięcie i prąd są w fazie. W cewce indukcyjnej lub kondensatorze występuje między nimi różnica faz 90 °.

Więc teraz pojęcie rotacji („kąt fazowy”) wkradło się do naszej analizy obwodu. Moglibyśmy pozostać w dziedzinie czasu i robić takie rzeczy:

$$ v = L \ frac {\ mathrm d i} {\ mathrm d t} $$ $$ V \ cos (\ omega t) = \ omega L \ cdot I \ cos (\ omega t - 90 ^ \ circ) $$

Lub możemy użyć liczb zespolonych, gdzie rotacja \ $ 90 ^ \ circ \ $ oznacza po prostu pomnożenie przez i (no cóż, \ $ j \ $ w naszym przypadku - to jest EE):

$$ V \ mathrm e ^ {\ mathrm j \ omega t} = \ mathrm j \ omega L \ cdot I \ mathrm e ^ {\ mathrm j \ omega t}$$

Główną zaletą jest to, że wszystkie wyrazy \ $ \ mathrm e ^ {\ mathrm j \ omega t} \ $ są usuwane z równań, więc teraznasza zależność napięcie / prąd to po prostu prawo Ohma z liczbami zespolonymi:

$$ \ hat V = \ mathrm j \ omega L \ hat I $$

Gdybym miał podsumować to wszystko w jednym zdaniu, powiedziałbym, że liczby zespolone pozwalają przedstawić rotację poprzez zgrupowanie wielkości i fazy razem oddzielnie od częstotliwości, podczas gdy sinusoidy grupują częstotliwość i fazę razem.

Dlaczego używa się liczb zespolonych, a nie wektorów?

po prostu dlatego, że w algebrze wektorów nie ma zdefiniowanego podziału wektorowego, więc po prostu nie można użyć prawa Ohma w postaci dzielenia, przez co obliczenia są bardziej skomplikowane. Z drugiej strony, dziedzina atematyki liczb zespolonych rozwinęła się w czasie bardziej niż jej odpowiednik wektorowy, więc masz do dyspozycji wiele twierdzeń, aby po prostu wyrazić i (łatwo) przeprowadzić analizę. Tak więc, nawet jeśli mógłbyś obejść algebrę wektorów, łatwiej jest pracować z liczbami zespolonymi.

czytaj więcej: https://math.stackexchange.com/questions/246594/what-is-vector-division

dlaczego impedancja jest reprezentowana jako liczba zespolona?

rozważ następujący obwód:

jeśli Q jest ładunkiem kondensatora, a i jest prądem, to używając KVL będziemy mieć

$$ R \ times i + \ frac QC + L \ times \ frac {di} {dt} = V \ dots (1) $$ $$ \ implies \ frac {d ^ 2i} {dt ^ 2} + \ frac RL \ times \ frac {dQ} {dt} + \ frac 1 {LC} \ times i = 0 \ dots (2) $$ $$ \ implies i = Ae ^ {a_1t} + Be ^ {a ^ 2t} $$ gdzie $$ a_1, a_2 \ in C $$ a rozwiązania ogólne Równania różniczkowego drugiego rzędu są zawsze z natury złożone.

stąd twoje i jest wyrażeniem złożonym i umieszczenie tej wartości w równaniu 1 da V , które również będzie wyrażeniem złożonym. Dzieląc V przez i , otrzymasz kolejne złożone wyrażenie, które nazywamy impedancją tego obwodu. Więc widzisz, powodem, dla którego impedancja jest złożona, jest zastosowana matematyka.

Teraz, jeśli chcesz „poczuć” złożoną impedancję, powinieneś nauczyć się o wskazówkach i przeprowadzić z tym analogię.

Czytaj więcej: https://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-007-electromagnetic-energy-from-motors-to-lasers-spring-2011/lecture-notes/MIT6_007S11_lec19.pdf

Wystarczy zauważyć, że impedancję można przedstawić jako macierz :

$$ R + \ mathrm j X \ leftrightarrow \ begin {bmatrix} R & X \\ -X & R \ end {bmatrix} $$

W rzeczywistości jest to reprezentacja macierzowa liczb zespolonych. Z drugiej strony możesz przedstawić sygnały sinusoidalne (ale nie impedancję) za pomocą wektorów:

$$ x _ {\ cos} + \ mathrm j x _ {\ sin} \ leftrightarrow \ begin {bmatrix} x _ {\ cos} \\ x _ {\ sin} \ end {bmatrix} $$

Dodawanie / odejmowanie / skalowanie impedancji i sinusoid to oczywiście tylko homonimiczne operacje na macierzach i wektorach. Admitancja jest odwrotnością macierzy impedancji:

$$ (R + \ mathrm j X) ^ {- 1} \ leftrightarrow \ begin {bmatrix} R & X \\ -X & R \ end {bmatrix} ^ {- 1} = \ frac 1 {(R ^ 2 + X ^ 2)} \ begin {bmatrix} R & -X \\ X & R \ end {bmatrix} $$

Możesz pomnożyć impedancję przez macierz z prądem lub admitancję z napięciem:

\ begin {align} \ begin {bmatrix} R & X \\ -X & R \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} ja _ {\ cos} \\ jest w} \ end {bmatrix} & = \ begin {bmatrix} R i _ {\ cos} + X i _ {\ sin} \\ R i _ {\ sin} - X i _ {\ cos} \ end {bmatrix} \\ \ begin {bmatrix} G & B \\ -B & G. \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} u _ {\ cos} \\ u _ {\ sin} \ end {bmatrix} & = \ begin {bmatrix} G u _ {\ cos} + B u _ {\ sin} \\ G u _ {\ sin} - B u _ {\ cos} \ end {bmatrix} \ end {align}

Różnica faz jest również macierzą:

$$ {\ mathrm e} ^ {\ mathrm j \ varphi} = \ cos \ varphi + \ mathrm j \ sin \ varphi \ leftrightarrow \ begin {bmatrix} \ cos \ varphi & \ sin \ varphi \\ - \ sin \ varphi & \ cos \ varphi \ end {bmatrix} $$

Pochodna to po prostu \ $ \ omega \ $ razy 90-stopniowa faza wyprzedzenia:

$$ \ mathrm j \ omega \ leftrightarrow \ begin {bmatrix} 0 & \ omega \\ - \ omega & 0 \ end {bmatrix} $$

Na podstawie tego, co do tej pory uzyskaliśmy, możemy zapisać równania różniczkowe jako równania macierzowe

\ begin {align} U_0 \ cos {\ omega t} = u + R C \ frac {\ mathrm d u} {\ mathrm d t} \ leftrightarrow \ begin {bmatrix} U_0 \\ 0 \ end {bmatrix} = (\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} + R C \ begin {bmatrix} 0 & \ omega \\ - \ omega & 0 \ end {bmatrix}) \ mathbf u = \ begin {bmatrix} 1 & R C \ omega \\ -R C \ omega & 1 \ end {bmatrix} \ mathbf u \ end {align}

... i rozwiąż go, obliczając odwrotną macierz \ $ \ begin {bmatrix} 1 & R C \ omega \\ -R C \ omega & 1 \ end {bmatrix} \ $ , a następnie pomnóż go na wektorze \ $ U_0 \ $ .

Jak widać, ten system notacji jest dość rozwlekły i nie zapewnia intuicyjnej reprezentacji fazy i amplitudy (wszystko jest zasadniczo we współrzędnych kartezjańskich).

Przy okazji, moc ma zgrabną reprezentację jako iloczyn wektorowy:

$$ \ frac 1 2 (u _ {\ cos} i _ {\ cos} + u _ {\ sin} i _ {\ sin}) = \ frac 1 2 {\ mathbf i} ^ {\ mathrm T} \ mathbf u = \ frac 1 2 \ begin {bmatrix} i _ {\ cos} & i _ {\ sin} \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} u _ {\ cos} \\ u _ {\ sin} \ end {bmatrix} $$

Krótko mówiąc: impedancję można wizualizować jako typ wektora, ale matematyka wektorowa nie rejestruje zachowania impedancji. Liczby zespolone początkowo nie są tak atrakcyjne wizualnie, ale matematycznie działają w podobny sposób do funkcji impedancji w obwodzie.

Łączy to dwie koncepcje, które omówię osobno: jak zachowuje się złożona impedancja i jak reprezentuje to liczba zespolona.

Podczas gdy rezystancja zmienia wielkość sygnału tylko poprzez pochłanianie energii, złożona impedancja może zmienić zarówno wielkość, jak i fazę sygnału. Oznacza to, że impedancja może magazynować energię z sygnału i później zwrócić tę energię do systemu; powoduje to opóźnioną odpowiedź, która w przypadku sygnałów okresowych może objawiać się obrotem w dowolnym kierunku.

Zatem połączony wpływ na wielkość i kierunek prowadzi nas z powrotem do twojego pytania: dlaczego nie użyjemy wektora? W ogólnym sensie tak! Systemy zasilania używają podobnej koncepcji zwanej fazorem.

Przedstawia to, co się dzieje, gdy sygnał (prąd I) o określonej częstotliwości jest przepychany przez impedancję Z. Prąd zaczyna się od wielkości i fazy (kąta), które impedancja modyfikuje o swoją własną wielkość i fazę (rotacja) . Wynikowe napięcie V jest iloczynem wielkości obróconych przez sumę kątów.

Fazory mają krytyczne znaczenie podczas pracy z wieloma fazami mocy; gdzie każdy wskazowy śledzi różnicę między wartościami złożonymi. W przypadku większości sygnałów audio lub RF, w których widoczne jest wspólne odniesienie, fazy V, I, Z zapadają się w pojedyncze (złożone) wartości.

Prowadzi to do ostatniej części odpowiedzi.Złożone skalary wychwytują te same informacje co wektory - wielkość i kąt - ale nie działają w ten sam sposób matematycznie.Gdyby częstotliwość RF została opisana jako wartość wektora, modelowanie impedancji wymagałoby mnożenia macierzy, aby uchwycić wpływ zarówno na wielkość, jak i fazę;żaden rodzaj mnożenia wektorów nie wystarczy.Liczby zespolone działają w taki sam sposób jak impedancja, zapewniając doskonałe narzędzie do reprezentowania zarówno wartości, jak i funkcji impedancji.

Część urojona reprezentuje fazę lub opóźnienie fali sinusoidalnej. Może być reprezentowany przez jednostki pi, stopnie lub liczbę zespoloną.

Źródło: https://www.mathsisfun.com/algebra/amplitude-period-frequency-phase-shift.html

Element elektryczny może powodować przesunięcie fazowe fali sinusoidalnej (robią to cewki indukcyjne i kondensatory).Możemy przedstawić, jak bardzo kondensator lub cewka przesuwa fazę jako wyimaginowany składnik i traktować je jako rezystory.Upraszcza to analizę obwodów

Właściwość jest pożądana, ponieważ możemy używać wyimaginowanej matematyki do przenoszenia informacji o fazie, co jest znacznie łatwiejsze niż dodawanie funkcji sin z fazą.

Złożona impedancja może być wyrażona w postaci fazora (domena biegunowa) lub ortogonalnej (domena kartezjańska)

Współrzędne biegunowe są bardziej przydatne do jednoczęstotliwościowego przesunięcia fazowego w analizie systemu elektroenergetycznego.

Domena ortogonalna jest bardziej przydatna w przypadku elektroniki, gdzie dostępne są wyraźne parametry DCR, ESR i strat w porównaniu z przechowywanymi miarami reaktywnymi i są one powszechnie określone w arkuszach danych.

Matematyka: liczba zespolona służy do zmiany dziedziny z t na częstotliwość.W dziedzinie t równania będą różniczkowe i całkowe, w dziedzinie częstotliwości równania będą proste.Zobacz transformację Laplace'a.To jest rozwiązanie matematyczne, które tworzy pojęcie o wskazach.Efekt fizyczny, który widzisz w pierwotnej domenie czasu, spowodowany zmianami prądu lub napięcia w czasie o di / dt lub całkę i.dt dla próbki, można zobaczyć w dziedzinie częstotliwości, aby użyć urojonej składowej liczby zespolonej.Z = r + jx zawiera jednocześnie część rzeczywistą R i część X, co oznacza skutki zmian indukcyjności wynikających z prądu przemiennego w prawie Faradaya i pojemności.Fizyczne pojęcie o wskazach różni się od wektora, co oznacza naprzemienne zmiany w czasie jako krzywa senoidalna, ale jest zapisywane bez użycia czasu.

W rzeczywistości impedancja jest słońcem o rzeczywistej wartości (oporze) i wektorze.Twoje j = sqrt (-1) to w rzeczywistości wektory jednostkowe.Proszę zachować to w ścisłej tajemnicy, ale istnieją dwa inne wektory jednostkowe prostopadłe do j.Nazywamy je i i k.i, j oraz k to standardowe wektory jednostkowe w przestrzeni trójwymiarowej, a każdy z nich jest pierwiastkiem kwadratowym z -1.Ponadto iloczyn poprzeczny i X j = k.A więc liczby zespolone to tylko podzbiór tej dziwnej przestrzeni wektorów i liczb rzeczywistych.Pomyśl o dodaniu jabłek i małp.