Wygląda na to, że intuicyjne odpowiedzi nie robią tego za Ciebie, więc przejdźmy przez matematykę.
Kondensator składa się z dwóch przewodników oddzielonych izolatorem, takim jak próżnia, powietrze lub dielektryk (izolator). Po umieszczeniu napięcia w szczelinie jeden przewodnik rozwija nadmierny ładunek dodatni, podczas gdy drugi wytwarza równy i przeciwny nadmiar ładunku ujemnego. Równanie to \ $ Q = CV \ $, gdzie \ $ Q \ $ to nadwyżka ładunku, a \ $ V \ $ to napięcie. Stosunek tych dwóch nazywany jest pojemnością (\ $ C \ $) i jest określany przez geometrię przewodników i właściwości izolatora.
W teorii obwodów , zwykle pracujemy z prądem, nie ładujemy. Więc zwykle zobaczysz inne równanie dla kondensatorów:
$$ i = C \ frac {dv} {dt} $$
Zobaczmy, jak to działa w prostym obwodzie RC .
Symuluj ten obwód - Schemat utworzony za pomocą CircuitLab
Możemy skorzystać z prawa Ohma i równania kondensatora, aby utworzyć równanie KCL dla węzła \ $ v_o \ $.
$$ i_R = i_C $$$$ \ frac {v_i - v_o} {R} = C \ frac {dv_o} {dt} $$$$ RC \ frac {dv_o} {dt} + v_o = v_i $$
\ $ v_i \ $ and \ $ v_o \ $ są funkcjami \ $ t \ $. To jest liniowe równanie różniczkowe pierwszego rzędu. Łatwość rozwiązania zależy od \ $ v_i \ $. Najprostsza sytuacja jest taka, gdy \ $ v_i \ $ jest stała:
$$ RC \ frac {dv_o} {dt} = v_i - v_o $$$$ \ int {\ frac {dv_o} {v_i - v_o}} = \ int \ frac {1} {RC} dt $$$$ - \ ln (v_i - v_o) = \ frac t {RC} + C_0 $$$$ v_i - v_o = e ^ {- t / RC} e ^ {- C_0} $$
\ $ C_0 \ $ jest stałą całkowania. Dla uproszczenia podamy \ $ e ^ {- C_0} \ $ nazwę \ $ C_1 \ $:
$$ v_i - v_o = C_1e ^ {- t / RC} $$
Potrzebujemy warunku początkowego do rozwiązania dla \ $ C_1 \ $. Ten warunek to wartość \ $ v_i - v_o \ $ przy \ $ t = 0 \ $. Jeśli kondensator jest rozładowany, \ $ v_o (t = 0) = 0 \ $ i \ $ C_1 = v_i \ $, co daje wykładniczy rozpad:
$$ v_o = v_i - v_ie ^ {- t / RC} $$$$ v_o = v_i (1 - e ^ {- t / RC}) $$
Jeśli kondensator jest naładowany, \ $ v_o (t = 0) = v_i \ $ i \ $ C_1 = 0 \ $, co daje nam stan DC:
$$ v_o = v_i - 0 \ cdot e ^ {- t / RC} = v_i $$
Zatem przy DC kondensator działa jak obwód otwarty. Ale co liczy się jako DC? Żadne napięcie nie jest stałe przez cały czas. Wiele nie jest nawet stałych przez pięć minut! Stała czasowa \ $ RC \ $ mówi nam, jak długo musimy czekać, zanim napięcie kondensatora będzie stabilne wystarczająco dla naszych potrzeb. Powiedzmy, że przestawiamy przełącznik i podłączamy napięcie stałe do nienaładowanego kondensatora przez rezystor. Jak długo napięcie kondensatora ustabilizuje się w granicach 0,1% swojej wartości końcowej?
$$ v_o = 0.999v_i = v_i (1 - e ^ {- t / RC}) $$$$ e ^ {-t / RC} = 0,001 $$$$ t = -RC \ ln 0,001 $$
Jeśli \ $ R = 10 \ k \ Omega \ $ i \ $ C = 1 \ mu F \ $, odpowiedź to 69 milisekund.
Teraz, gdy mamy praktyczną definicję DC, spójrzmy na AC. Rozważymy tutaj tylko sinusoidy, ponieważ można użyć transformacji Fouriera do wyrażenia dowolnego sygnału w kategoriach sinusoid. Wróćmy do naszego równania różniczkowego:
$$ RC \ frac {dv_o} {dt} + v_o = V_i \ cos (\ omega t) $$
Jest tu trochę paskudnych wyzwalaczy przez które nie przejdę. Zamiast tego dam ci skróconą wersję. Opierając się na postaci równania różniczkowego, zakładasz, że \ $ v_o \ $ musi być takie jak:
$$ v_o = A \ cos (\ omega t) + B \ sin (\ omega t) $$
Następnie, po dużej pracy, odkrywasz, że ostateczna odpowiedź brzmi:
$$ v_o = \ frac {V_i} {\ sqrt {1 + (\ omega RC) ^ 2}} \ cos (\ omega t - \ tan ^ {- 1} (\ omega RC)) $$
Zwróć uwagę, że amplituda napięcie kondensatora zależy od częstotliwości oraz stałej czasowej RC! Dzieje się tak, ponieważ bierzemy pochodne sinusoid, a pochodne sinusoid są proporcjonalne do ich częstotliwości:
$$ \ frac {d} {dt} A \ cos (\ omega t + \ phi) = A \ omega \ cos (\ omega t + \ phi) $$
Zauważ również, że to napięcie ma tę samą częstotliwość co napięcie wejściowe, ale inną amplitudę i fazę.
Rozwiązywanie takich równań różniczkowych jest trudne i czasochłonne. Na szczęście jest prostszy sposób - analiza wskazowa. Zamiast używać sinusów i cosinusów o wartościach rzeczywistych, używamy złożonych wykładników, takich jak \ $ e ^ {j \ omega t} \ $. To znacznie upraszcza równania różniczkowe, pozwalając na całkowity spadek częstotliwości (która jest zawsze taka sama), pozostawiając nam tylko amplitudy i fazy. Możemy połączyć je w pojedyncze wartości zespolone.
$$ v_c = V_C e ^ {j \ omega t} $$$$ i_c = I_C e ^ {j \ omega t + \ phi} = I_C e ^ {j \ omega t} e ^ \ phi $$$$ i_C = C \ frac {dv_c} {dt} $$$$ I_C e ^ {j \ omega t} e ^ \ phi = C \ frac {d} {dt} V_C e ^ {j \ omega t} $$$$ I_C e ^ {j \ omega t} e ^ \ phi = j \ omega C V_C e ^ {j \ omega t} $$$$ I_C e ^ \ phi = j \ omega C V_C $$$$ \ frac {V_C} {I_C} e ^ {- \ phi} = \ frac 1 {j \ omega C} $$
$$ Z_C = \ frac 1 {j \ omega C} $$
Ta „impedancja” działa jak rezystancja o wartościach zespolonych i podlega zasadzie podobnej do prawa Ohma. Jak widać, to również zależy od częstotliwości kątowej \ $ \ omega \ $. Stosunek prądu do napięcia jest duży, gdy częstotliwość jest duża, a mały, gdy częstotliwość jest mała. W skrajnych przypadkach mówimy, że kondensator działa jak otwarty obwód przy DC i zwarcie przy wysokich częstotliwościach . Oznacza to, że przy DC można przyłożyć duże napięcie do kondensatora bez przepływu prądu przez niego. Przy wysokich częstotliwościach można przepuścić duży prąd przez kondensator, nie widząc na nim napięcia.
Mam nadzieję, że ta gigantyczna odpowiedź wyjaśniła kilka rzeczy. Jeśli czegoś nie rozumiesz, możesz zadawać dodatkowe pytania.
